Hablamos de funciones matemáticas para referirnos a las relaciones que se establecen entre elementos de dos conjuntos, donde cada elemento del primer conjunto o conjunto inicial, se relaciona con un único elemento del segundo conjunto.
En las funciones matemáticas llamamos variables a los elementos de cada conjunto, y los conjuntos son denominados dominios.
Qué es una función matemática
La definición de función matemática puede resumirse en una sola frase: es la relación que hay entre una magnitud y otra; en la que una magnitud tiene una relación de dependencia con la otra.
En estos casos se dice que una magnitud es función de otra cuando el valor de la primera depende del valor de la segunda.
Entre las funciones matemáticas ejemplos que suelen utilizarse para explicar qué y cómo son las funciones matemáticas se suele utilizar el de los números enteros y el hecho de que le corresponda un único cuadrado, que ha de ser un número natural, incluido el cero, como en estos casos:
3 ? 9, -5 ? +25, 0 ? 0, 2 ? 4
En estos casos, la función se expresaría de este modo: f(n) = n * n
La función se denota por lo general con minúscula (f), seguida por un objeto arbitrario entre paréntesis que representa el elemento del dominio o de partida (n), y “n * n” el codominio o elemento de llegada.
Podemos representar funciones matemáticas con ecuaciones, como la que acabamos de hacer, o tablas o gráficos.
Variables
Las variables en las funciones matemáticas son los elementos de un conjunto. Se conocen como variables porque no son un valor absoluto, pueden cambiar.
Por ejemplo: en la función f(n) = n + 5, n es una variable porque puede coger cualquier valor de los números reales, como en los casos f(1) = 1 + 5 = 6; f(2) = 2 + 5 = 7.
Las variables pueden ser dependientes o independientes.
Dependiente
Las variables dependientes en las funciones matemáticas son aquellas cuyo valor depende de otra variable.
Por ejemplo: la cantidad de personas nacidas en un año, donde la cantidad de personas es la variable dependiente; porque dependiendo del año que se coja habrá distintas cantidades de población.
Independiente
Las variables independientes en las funciones matemáticas son aquellas cuyo valor no depende de otras variables.
Para cada valor de una variable independiente existe un único valor de variable dependiente. En el caso del ejemplo anterior, el año es la variable independiente: para cada año solo existe una cantidad de población; en cambio, puede haber el mismo número de habitantes en años distintos.
Esto se puede expresar de esta manera: una variable independiente solo tiene una variable dependiente, pero una variable dependiente puede estar relacionada con múltiples variables independientes.
Composición de funciones
En las funciones matemáticas se habla de composición de funciones cuando evaluamos un valor de la variable independiente en dos funciones de forma sucesiva. Por ejemplo:
Tenemos la función f(x) = 2x, y tenemos la función g(x) = x + 5; luego, para hacer una composición de funciones deberemos evaluar primero en f, y el valor resultante evaluarlo en g. En el caso de que nuestra x sea igual a 5, la operación seguiría este orden:
f(5) = 2*5 = 10, y este resultado lo evaluamos en g: g(10) = 10 + 5 = 15.
En este caso decimos que f está compuesta con g, y se denota (g o f)(x).
Tipos de funciones matemáticas
Las funciones elementales matemáticas pueden ser clasificadas según la relación entre los diferentes dominios en: inyectivas, sobreyectivas y biyectivas.
Los dominios son los valores que puede tomar la variable independiente; y los que puede coger la variable dependiente se denominan imagen. Podemos decir que todo número evaluado en una función es parte del dominio, y el resultado de dicha evaluación es parte de la imagen.
El codominio es el conjunto de números que contiene la imagen, es decir, las variables dependientes. El codominio puede ser igual o mayor a la imagen.
Inyectiva
Se dice que una función es inyectiva cuando para cada valor de la variable independiente existe un único valor de la variable dependiente. Asimismo, para cada valor de una variable dependiente existe una única variable independiente.
Por ejemplo: f(x) = x, es decir, f(1) = 1.
Sobreyectiva
Se dice que una función es sobreyectiva cuando para cada valor de la imagen existe un valor en el dominio, incluso cuando se repiten valores de la imagen para distintos valores del dominio. Un ejemplo de función sobreyectiva puede ser f(n) = n*n, o f(4) = 4*4 = 16.
Biyectiva
Una función es biyectiva cuando la misma es inyectiva y sobreyectiva a la vez. Por ejemplo: f(x) = x + 5.
Es inyectiva porque para cada valor de la variable independiente existe un único valor de la variable dependiente, y es sobreyectiva porque todos los elementos de la imagen se corresponden a todos los valores posibles que pueden existir, y para cada uno de ellos hay asociada una variable independiente perteneciente al dominio.
Cómo realizar una representación de la función matemática
Estos operaciones matemáticas son realizados en varios tipos de bachillerato, por lo que es muy recomendable dominarlos. Te dejamos una explicación muy sencilla.
Para representar una función matemática se deben seguir los siguientes pasos.
1. Haz una tabla de valores
Elige múltiples valores que quieras evaluar en tu función. Por ejemplo, utilicemos f(x) = x – 1, como nuestra función a representar. Cogeremos como valores para nuestra variable independiente el 0, el 1, el 3 y el 4 (como podríamos coger cualquier número).
| x |
| 0 |
| 1 |
| 3 |
| 4 |
2. Calcula cada valor
Luego, evaluamos estos valores en nuestra función.
| x | f(x) |
| 0 | -1 |
| 1 | 0 |
| 3 | 2 |
| 4 | 3 |
3. Representa los resultados en el gráfico de coordenadas
Después construimos un gráfico donde en nuestro eje horizontal, o eje de abscisas, se encontrarán los valores que tomamos inicialmente; y en nuestro eje vertical, o eje de coordenadas, se encontrarán los valores calculados.
Dichos ejes se intersectan en un punto inicial u origen, que será el punto 0 para nuestro eje vertical y para nuestro eje horizontal.
Para cada valor de nuestro x que se encuentre en nuestro eje de abscisas le asignaremos el valor correspondiente en el eje de coordenadas.
Esperemos que hayas comprendido mejor las funciones matemáticas. Si aun tienes dudas, puedes acudir a nuestra academia de Alcalá de Henares.
