Las ecuaciones de primer grado sirven para despejar incógnitas, como se denominan las letras que aparecen en una ecuación.
Las ecuaciones de primer grado son relaciones de una variable con respecto a una igualdad. Dichas variables se encuentran a la potencia de uno, es decir, que no se encuentran a la segunda o tercera potencia, en cuyo caso serían ecuaciones de segundo y tercer grado.
Las ecuaciones de primer grado constan de los siguientes elementos:
- Miembros: son las expresiones que aparecen a cada lado de un igual (=).
- Términos: son cada uno de los elementos que intervienen en la ecuación.
- Incógnitas: son las letras cuyo contenido hay que revelar en las ecuaciones de primer grado (x).
- Soluciones: son los valores que deben aparecer al revelarse la incógnita.
- Grado: corresponde a la máxima potencia a la que puede estar elevada una incógnita. En las ecuaciones de primer grado corresponden a una potencia de uno, las de segundo grado corresponden a una potencia de dos, y así sucesivamente.
- Ecuaciones equivalentes: son aquellas ecuaciones de primer grado que tienen las mismas incógnitas y las mismas soluciones.
Ejemplos de ecuaciones de primer grado muy sencillas, son las siguientes:
2 – x = x – 8
Los pasos para resolver esta ecuación serían los siguientes:
Para poder resolver una ecuación de primer grado disponemos de un conjunto de operaciones que nos permitirán dejar “sola” a la incógnita, dándonos así su valor.
Estas operaciones son suma, resta, multiplicación y división.
Lo importante es saber que dichas operaciones deben ser aplicadas sobre ambos términos de la ecuación para así respetar la igualdad. Entonces, para resolver el ejemplo anterior, aplicamos las siguientes operaciones:
2-x = x – 8. Sumamos 8 de cada lado
2-x + 8 = x-8+8 ?2-x+8 = x. Luego sumamos x de cada lado.
2-x+8+x = x+x ? 10 = 2x. Luego dividimos a ambos por 2.
102 = 2x2 ? 5 = x.
Finalmente, habiendo despejado la x, conseguimos una solución a la ecuación.
Una manera de verificar que el resultado es correcto es sustituir la incógnita por el resultado, como en este caso:
2 – 5 = 5 – 8, que da como resultado -3 = -3, con lo que obtenemos una igualdad verdadera.
Cómo resolver ecuaciones de primer grado
Cómo hacer ecuaciones de primer grado, es decir, qué pasos debemos dar para resolver ecuaciones de primer grado, es lo que vamos a tratar a continuación, describiendo y resolviendo ecuaciones de primer grado paso a paso.
2(1 + 2x) = 10
1. Quita los paréntesis
El primer paso en la resolución de ecuaciones de primer grado es quitar los paréntesis. Para hacerlo debemos recordar que el número que está delante del paréntesis multiplica a los elementos que están en el interior. En este caso:
2 (1 + 2x) = 10
2 + 4x = 10
2. Utiliza el mínimo común múltiplo para eliminar los denominadores de las fracciones
En el ejemplo que estamos utilizando no hay fracciones, pero en caso de que hubiera, se resolvería de este modo:
x2+x4=8 Como sabemos que 4 es el mínimo común múltiplo de 4 y es múltiplo de 2, podemos utilizarlo para deshacernos de los denominadores, multiplicando ambos términos de la ecuación por 4.
4?(x2+x4) = 8 ? 4 ? 2x + x = 32
3. Agrupa los elementos de x en un lado del igual y el resto en el otro
Volviendo al ejemplo anterior, sin las fracciones, es decir, 2 + 4x = 10, pasamos el 2 al lado contrario, quedando 4x = 10 -2, cambiando de signo.
El concepto de “pasar” un valor de un lado de la ecuación a otro representa la omisión de la operación que elimina el elemento del otro lado. En este caso, cuando decimos que pasamos el 2, en realidad estamos operando de la siguiente manera:
2 + 4x = 10 ? 2 + 4x-2=10-2. Omitimos el proceso de indicar cómo eliminamos el 2 del término de la izquierda, para agilizar el proceso de la resolución.
4. Realiza las operaciones
El siguiente paso es realizar las operaciones pendientes, o sea, restar el 2:
4x = 8
5. Despeja la incógnita
Para despejar la incógnita tenemos que dejarla sola. Para eso pasamos el número que la multiplica al otro término dividiendo:
x = 8 / 4
x = 2
Ecuaciones de primer grado con fracciones
Las ecuaciones de primer grado con fracciones funcionan del mismo modo que las ecuaciones más sencillas. Solo hay que utilizar el método del mínimo común múltiplo para eliminar los denominadores de las fracciones.
Resolvamos una ecuación con fracciones a manera de ejemplo:
12x + 23x = 10.
Primero buscamos el mínimo común múltiplo de ambos denominadores. Una forma sencilla es multiplicar los denominadores, lo que dará como resultado un posible común múltiplo, en este caso 6.
Multiplicamos ambos términos por el número que encontremos
6(12x + 23x) = 10?6 ? 62x+123x = 60.
Simplificando las fracciones nos quedaría:
3x + 4x = 60 ?7x = 60
Ahora despejamos la x pasando el 7 dividiendo al otro lado:
x = 607 ? 8,6.
Ejemplos de problemas con soluciones de ecuaciones de primer grado
Ofrecemos a continuación varios ejemplos de ecuaciones de primer grado con soluciones, sencillas y un poco más complejas para ayudarte a aprobar un examen, si tienes más dudas sobre cómo conseguirlo, no dudes en leer los pasos en nuestra publicación.
Los problemas de ecuaciones de primer grado preparan al estudiante para abordar conceptos como funciones matemáticas y sistemas de ecuaciones de primer grado. Ahora los ejemplos:
Primer ejemplo: 2x-8 = 10x.
2x-8=10x ?2x= 10x +8
2x= 10x +8 ? 2x – 10x = 8
-8x = 8 ? x = –88 ? x = -1.
Segundo ejemplo: x2+ 5 = 10.
x2+ 5 = 10 ? x2 = 10 – 5
x2= 5 ? x = 5?2
x = 10.
Tercer ejemplo: 1x + 12 = 4.
Para este ejemplo en particular, seguiremos usando el método del mínimo común múltiplo, para encontrar un posible múltiplo multiplicaremos los denominadores entre sí:
x ?2 = 2x.
Ahora multiplicamos este resultado a cada término de la ecuación:
2x(1x + 12) = 2x?4
2xx + 2x2 = 8x .
Simplificando las fracciones, nos queda:
2 + x = 8x ? x = 8x -2.
x = 8x – 2 ? x-8x = -2
-7x = -2.
Podemos multiplicar a ambos términos por -1 para obtener un resultado positivo:
7x = 2 ? x = 27 ? 0,3
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