Una ecuación es una igualdad matemática entre dos expresiones que se encuentran separadas por un signo igual (=), para indicar que comparten una solución, y con uno o más datos desconocidos o incógnitas; como por ejemplo las ecuaciones de primer grado. Cuando buscamos soluciones comunes en dos o más ecuaciones, hablamos de sistema de ecuaciones.
Qué es un sistema de ecuaciones
Un sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones con varias incógnitas para las que buscamos una solución. Por ejemplo:
x + y = 7
2x = 10
Tenemos una primera ecuación cuyas incógnitas son x e y, cuya suma equivale a 7, y donde es imposible conocer los valores de x o de y solamente a través de esta ecuación, ya que una de las incógnitas está en función de la otra.
Luego, tenemos la segunda ecuación con una incógnita que multiplicada por 2 da como resultado 10. Se trata de un sistema de ecuaciones porque las dos ecuaciones comparten un mismo valor, es decir, la x que se encuentra en la primera ecuación es la misma que se encuentra en la segunda.
Los problemas de sistemas de ecuaciones consisten precisamente en despejar estas incógnitas hasta alcanzar una solución.
Los sistemas de clasificaciones pueden clasificarse de acuerdo con el número de soluciones, en:
- Compatible determinado, es decir, que tiene una única solución. Suele representarse con dos rectas que se cortan en un punto.
- Compatible indeterminado: cuando tiene un número infinito de soluciones. Se representa con dos rectas que coinciden, es decir, que son dos rectas iguales.
- Incompatible, cuando no tienen solución. Se representa con dos líneas paralelas, sin intercepción.
Métodos para resolver sistemas de ecuaciones
Para solucionar sistema de ecuaciones podemos utilizar tres métodos: sustitución, reducción e igualación.
Sustitución
Para resolver un sistema de ecuaciones utilizando el método de sustitución, lo que se hace es despejar una de las incógnitas en una de las ecuaciones, y reemplazar con su valor la incógnita equivalente en la otra ecuación.
Siguiendo con el ejemplo del sistema de ecuaciones sustitución que mencionamos al principio:
x + y = 7
2x = 10
Se puede despejar la x en cualquiera de las dos ecuaciones y llegar a una solución, pero siempre conviene despejar la que menos cuentas corresponde, y en este caso, despejamos la x de la segunda ecuación:
x = 10 / 2 = 5.
Ahora que sabemos el valor de x, lo reemplazamos en la primera ecuación:
5 + y = 7
y = 7 – 5 = 2.
Con las dos incógnitas despejadas conseguimos una única solución, por lo que se trata de un sistema de ecuaciones compatible determinado.
Un ejemplo de una resolución de un sistema incompatible, indeterminado con este método puede ser:
x + y + z = 0
x – z = 2
Resolvemos despejando x de la segunda ecuación:
x = 2 + z
Luego reemplazamos en la primera ecuación:
2 + z + y + z = 0
z + y + z = -2
2z + y = -2
y = -2 – 2z
Terminamos obteniendo los valores de x y de y en función de z, es decir, que para cualquier valor que tome z, tendremos valores de x y de y. No hay limitantes para z, por lo que podemos coger cualquier número, eso significa que tenemos infinitas soluciones, por lo tanto, se trata de un sistema compatible determinado.
Como regla general podemos saber que se trata de un sistema compatible, indeterminado cuando tenemos más incógnitas que ecuaciones en un sistema. En el ejemplo anterior, por ejemplo, tenemos 2 ecuaciones y 3 incógnitas.
Reducción
El método de reducción consiste en relacionar las ecuaciones a través de la suma y resta de sus miembros, hasta lograr despejar las incógnitas.
Usemos de ejemplo el sistema de ecuaciones reducción:
x + 2y = 10
-x + y = 2
En este caso, vemos que podemos hacer desaparecer la x si sumamos la primera ecuación con la segunda, esta suma la hacemos miembro a miembro, es decir:
x + (-x) = 0
2y + y = 3y
10 + 2 = 12
Nos queda entonces una ecuación lineal de una incógnita que podemos resolver de forma sencilla:
3y = 12
y = 12 / 3 = 4.
Con la y despejada ya podemos reemplazar en cualquiera de las dos ecuaciones y conseguir una solución. Reemplazamos, por ejemplo, en la primera ecuación:
x + 2 * 4 = 10
x + 8 = 10
x = 10 – 8 = 2.
Igualación
El método de igualación consiste en despejar la misma incógnita en ambas ecuaciones, igualando luego los resultados. Por ejemplo:
Usando como sistema el siguiente:
2x + 4y = 30
x + y = 14
despejamos la x de ambas ecuaciones, de la primera obtenemos:
2x + 4y = 30
2x = 30 – 4y
x = (30 – 4y) / 2
x = 15 – 2y
Despejando x de la segunda nos queda:
x + y = 14
x = 14 – y
Y ahora igualamos ambos resultados y resolvemos:
15 – 2y = 14 – y
-2y = 14 – y – 15
-2y + y = 14 – 15
-y = -1
y = 1.
Con este resultado ya podemos obtener el valor de x reemplazando la y en cualquiera de las ecuaciones obtenidas, por ejemplo, la primera:
x = 15 – 2 y
x = 15 – 2 * (1)
x = 15 – 2
x = 13.
Diferencia entre sistemas de ecuaciones lineales y no lineales
Un sistema de ecuaciones lineales es un sistema donde cada ecuación es de primer grado. En cambio, los sistemas de ecuaciones no lineales son todos aquellos sistemas con ecuaciones de cualquier grado mayor a uno, como las cúbicas, las cuadráticas, las sinusoidales, etc.
Los sistemas de ecuaciones que hemos utilizado como ejemplo hasta ahora son sistemas de ecuaciones lineales.
Cómo solucionar un sistema de ecuaciones no lineal
Solucionar un sistema de ecuaciones es un método muy sencillo, pero que a algunos alumnos les cuesta entender al principio. Si tienes este problema y necesitas ayuda para comprender esta materia, puedes contactar con nuestra academia de matemáticas en Alcalá de Henares.
A continuación, ofrecemos dos ejemplos de sistemas de ecuaciones no lineales:
Una lineal y otra no lineal
En este caso podemos usar el sistema:
x2= 4
x + y = 8
Donde la primera no es lineal y la segunda sí lo es. Para resolver el sistema, optamos por el método de sustitución, ya que es el que resulta más fácil de usar. Despejamos la x de la primera ecuación:
x2 = 4
x2 = 4
x = 2 o x =-2
Luego reemplazamos ambos resultados en la segunda ecuación:
Con el primer resultado:
2 + y = 8
y = 8 – 2
y = 6
Con el segundo:
– 2 + y = 8
y = 8 + 2
y = 10
Por lo tanto, el sistema planteado tiene dos soluciones, la primera donde los valores de x e y son 2 y 6 respectivamente, y la segunda donde x vale -2 e y vale 10.
Ambas no son lineales
Usamos el siguiente sistema de ecuaciones:
x2 + y3 = 27
x6 = 0
De la segunda ecuación podemos inferir que x vale 0, pues es el único número que multiplicado por sí mismo vale 0. Luego reemplazamos este resultado en la primera ecuación y despejamos la y:
02 + y3= 27
y3 = 27
3y3 = 327
y = 3
Nos queda entonces que el sistema de ecuaciones tiene una única solución que corresponde a 0 y 3 como valores de x e y respectivamente.
